banner

NL EN  

Probleemschets: waarom rekenmachines en andere hulpmiddelen?

De directe aanleiding voor Wilhelm Schickard om zijn rekenklok te ontwikkelen was een ontmoeting met de wiskundige en astronoom Johannes Kepler (1571-1630)

placeholder

Kepler is vooral bekend door de Wetten van Kepler, drie wetten die de beweging van de planeten rond de zon beschrijven die o.a. door Isaac Newton zijn gebruikt om zijn zwaartekrachttheorie uit te werken. In het jaar 1600 kwam Kepler in contact met de astronoom Tycho Brahe die al een hele tijd bezig was met het noteren van de posities van de planeet Mars. Merk op dat er toen nog geen telescopen waren (uitvinding eerste telescoop: 1608) en dat deze waarnemingen met het blote oog moesten gebeuren. Brahe gebruikte daar enorme instrumenten voor om een goede nauwkeurigheid te krijgen. In de volgende figuur zie je bijvoorbeeld zijn muurquadrant met een diameter van 1.94 m.

Met de grote hoeveelheid erg nauwkeurige waarnemingen van Brahe van de posities van Mars slaagde Kepler er in om zijn drie wetten af te leiden. Hij had vijf jaar nodig om een wiskundig model op te stellen voor de baan van de planeet Mars. Van dit reusachtige werk zijn 987 pagina’s berekeningen (met de hand) bewaard gebleven.

In 1619, in een brief aan zijn vriend Vincenzo Bianchi, schrijft Kepler: Ik vraag jullie ook, mijn vrienden, me niet helemaal te veroordelen tot de tredmolen van wiskundige berekeningen, maar me tijd te laten om te besteden aan filosofische speculaties, mijn enige geneugten.

Kortom, erg graag deed hij dat rekenen niet. In dit kader is het belangrijk om te weten dat de decimale schrijfwijze van getallen nog niet echt ingeburgerd was op het ogenblik dat Kepler zijn berekeningen deed. Pas op het einde van de zestiende eeuw werd de notatie met het decimale punt ingevoerd, voordien werden getallen steeds geschreven als breuken met gehele teller en noemer. Bijvoorbeeld 3.1415 werd geschreven als:

placeholder

3 1415/10000

Het rekenen (optelllen, aftrekken, delen, vermenigvuldigen) met zo’n breuken was helemaal niet eenvoudig. Daarom voerde Simon Stevin een nieuwe notatie in:

placeholder

die dan uiteindelijk vervangen wordt door de gekende notatie 3.1415. Het eerste gebruik van het decimale punt dateert waarschijnlijk van 1593. Het kwam er dus eigenlijk op neer dat alle berekeningen in die tijd met de hand moesten gebeuren. In onderstaande figuur is een berekening te zien van de hand van Isaac Newton. In dit manuscript uit 1665 berekent hij de oppervlakte onder een hyperbool tot op 55 cijfers na de komma.

placeholder

In 1666 berekent Newton met de hand 16 decimalen van het getal ?. Hij schrijft over deze berekening later, in een brief naar Henry Oldenburg: Pudet dicere ad quot figurarum Ioca has computationes otiosus eo tempore perduxi. Nam tunc sane nimis delectabar inventis hisce. Vrije vertaling: Ik ben beschaamd je te vertellen met hoeveel cijfers na de komma ik deze berekeningen heb gedaan. Ik had toen niet veel anders te doen, en genoot te erg van mijn eigen vondsten.

placeholder

De formule die Newton gebruikte bij zijn berekening was inderdaad een formule die hij zelf had gevonden. Sommige wetenschappers maakten dankbaar gebruik van rekenwonders (mental calculators/calculateurs prodiges) om hen te helpen met hun rekenwerk. Het waren mensen die uiterst bedreven waren in het hoofdrekenen. In dezelfde brief van Kepler aan Bianchi klaagt hij tevens:

“Ik kan zelden een rekenaar voorzien. Ik heb Janus Gringalletus Sabaudus, een zeer ijverig rekenwonder, die alle wiskundige operaties beheerst, en die voor mij het werk van het berekenen van Ephemeriden voor vele jaren zou kunnen doen. Maar vermits ik, verlaten door de Keizer, hem niet kan voldoen, ben ik geenszins zeker van zijn aanwezigheid hier. En dan valt alles op mijn eigen schouders […] Soms vertraagt een misrekening, begaan in haast, me voor lange tijd.”

De wiskundige John Wallis was zelf een rekenwonder. Van hem wordt verteld dat hij slecht sliep en dan ’s nachts berekeningen deed in zijn hoofd. Een van die berekeningen was het trekken van een vierkantswortel uit een getal van 53 cijfers. De volgende ochtend dicteerde hij dan het uit 27 cijfers bestaande resultaat.

Vanaf 1614 was er een nieuw hulpmiddel beschikbaar dat het rekenen met decimale getallen sterk vereenvoudigde: de logaritmentafel. De Schotse wiskundige John Napier publiceerde in dat jaar zijn boek Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (een beschrijving van de wonderbaarlijke canon van de logaritmen), dat behalve die beschrijving ook 90 pagina’s tabellen van goniometrische functies en hun logaritmen bevatte. Logaritmen waren ideaal als hulpmiddel bij vermenigvuldigingen en delingen, omdat deze door de logaritmische functie omgezet worden in optellingen en aftrekkingen.

Maar dat het met de hand allemaal toch niet zo snel vooruitging, dat zie je in de volgende tabel, die een korte geschiedenis bevat van de berekening van de decimalen van het getal pi.

(Aantal) decimalen Wie? Wanneer? Hoe?
3.14 Ahmes (Rhind Papyrus) 2000 v.C. ?
3.141 Archimedes Derde eeuw v.C. Regelmatige 96-hoek
3.141 Ptolemaeus Tweede eeuw ?
3.1415926 Tsu Ch’ung Chi Vijfde eeuw 24675-hoek
3.1415926535897932 (16 cijfers na het .) Madhava of Sangamagrama (?) 1400 Reeks van Leibniz, versneld
32 decimalen Ludolph van Ceulen 1600 Met veelhoeken
72 decimalen Abraham Sharp 1699 Reeks van Gregory
112 decimalen Thomas Fantet de Lagny 1719 Reeks van Gregory
136 decimalen Baron Georg von Vega 1794 Reeks van Gregory
200 decimalen Zacharias Dase 1844 Boogtangensformule
441 decimalen William Rutherford en William Shanks 1853 Formule van Machin
707 527 decimalen William Shanks 1874 Formule van Machin
808 decimalen D.F. Ferguson en John Wrench 1947 Formule van Machin
1120 decimalen L.B. Smith en John Wrench 1949 Formule van Machin
2037 decimalen E.N.I.A.C. (70 uur) 1949 Formule van Machin
3089 decimalen NORC (13 minuten) 1953 Formule van Machin

 

Enkele aanvullingen bij de tabel:

  • De wiskundige Leonhard Euler was tegelijk ook een rekenwonder. Hij berekende in 1755 20 decimalen in een uur tijd.
  • Zacharias Dase, die aan 200 decimalen geraakte in 1844, was een beroemd rekenwonder. Hij was niet wiskundig geschoold, maar had iets met getallen. Zo kon hij uit het hoofd vierkantswortels trekken uit getallen van 100 cijfers in minder dan een uur tijd. De berekening van de 200 decimalen van ? deed hij op twee maanden.
  • In 1937 werd er voor de Wereldtentoonstelling in het Palais de la Découverte in Parijs een hele zaal gewijd aan het getal ?. De 707 decimalen die Williams Shanks in 1874 had berekend, werden op het plafond geschilderd.

    placeholder

    In 1945 ontdekte D.F. Ferguson dat Shanks’ berekening vanaf decimaal 528 fout was, dus ook in de Salle Pi in Parijs. Deze fout werd daar (gelukkig) onmiddellijk gecorrigeerd.

  • Diezelfde D.F. Ferguson gebruikte in 1947 bij zijn recordpoging voor de berekening van de laatste 200 decimalen een mechanische rekenmachine. Hij was de eerste die dit op de manier deed. Dat liet hem toe om ongeveer 2 decimalen te berekenen per dag. J. Wrench ontdekte enkele fouten en hielp om die te verbeteren.
  • L. B. Smith en John Wrench gebruikten bij hun recordberekening in 1949 een elektromechanische rekenmachine. Nog voor ze hun berekening hadden kunnen verifiëren werd hun record gebroken door E.N.I.A.C.. Het tijdperk van de computers was aangebroken.
  • Nu, 75 jaar later, is het getal pi gekend tot op 100000000000000 cijfers na de komma, een berekening die in 2023 werd gedaan in 54 dagen, dankzij de computer.

    placeholder